ทฤษฎีเมเชอร์

ทฤษฎีเมเชอร์ (อังกฤษ: measure theory) เป็นสาขาทางคณิตศาสตร์ของคณิตวิเคราะห์เชิงจริง เพื่อใช้อธิบายนิยามทางคณิตศาสตร์ของ "ความยาว" "พื้นที่" "ปริมาตร" หรืออะไรก็ตามที่วัดได้ ตัวอย่างการนำทฤษฎีเมเชอร์ไปใช้ในสาขาอื่น คือ การที่นักคณิตศาสตร์หลายท่านมองว่าความน่าจะเป็นเหมาะสมเป็นปริมาณเมเชอร์ประเภทหนึ่ง จึงได้ใช้ทฤษฎีเมเชอร์ในการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical probability) (หรือทฤษฎีความน่าจะเป็นยุคใหม่) ขึ้น ก่อให้เกิดความก้าวหน้ากับทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นอย่างมาก

อย่างไรก็ตาม จุดประสงค์เริ่มต้นของการสร้างสาขาทฤษฎีเมเชอร์คือ การนำไปใช้กับทฤษฎีของปริพันธ์ เพื่อขยายทฤษฎีปริพันธ์ของรีมันน์ไปยังขอบเขตที่กว้างขึ้น โดยนักคณิตศาสตร์ที่มีส่วนสำคัญในการคิดค้นทฤษฎีเมเชอร์ในยุคแรก ๆ คือ จูเซ็ปเป้ เพียโน มารี คามิลเลอร์ จอร์แดนเอมีล โบเรล และอองรี เลอเบ็ก

คุณสมบัติที่พิสูจน์ได้จากนิยาม

คุณสมบัติที่พิสูจน์ได้จากนิยามแก้ไข

Monotonicityแก้ไข

μ มีคุณสมบัติ monotonic: กำหนดให้ E₁ และ E₂ เป็นเซตที่สามารถวัดได้ (เป็นสมาชิกใน Σ) และ E₁ ⊆ E₂, แล้ว μ (E₁) ≤ μ (E₂).

คำอธิบายอย่างหยาบ: ถ้าวัตถุหนึ่งและวัตถุสองสามารถวัดค่าได้ และวัตถุแรกจริง ๆ แล้วเป็นเพียงส่วนประกอบของวัตถุสอง ค่าที่วัดได้ของวัตถุสองจะมากกว่าหรือเท่ากับวัตถุแรกเสมอ

เมเชอร์ของยูเนียนแบบนับได้ของเซตแก้ไข

กำหนดให้ ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...}$ เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตใน Σ จะได้ว่า

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}$.

นอกจากนั้นเรายังได้ว่า ถ้ากำหนดให้ ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...}$ เป็นเซตใน Σ และ ${\displaystyle E_{n}\subseteq E_{n+1},\forall n\in \mathbb {N} }$, แล้วจะได้ว่า ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}}$ อยู่ใน Σ ด้วยและ

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})}$.

เมเชอร์ของอินเตอร์เซกชันแบบนับได้ของเซตแก้ไข

กำหนดให้ ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...}$ เป็นเซตใน Σ และ ${\displaystyle E_{n+1}\subseteq E_{n},\forall n\in \mathbb {N} }$, แล้วจะได้ว่า ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n}}$ อยู่ใน Σ ด้วยและ ยิ่งไปกว่านั้น ถ้ามีสมาชิก ${\displaystyle E_{n}}$ อย่างน้อยหนึ่งตัวที่มีค่าเมเชอร์จำกัด เราจะได้ว่า

${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})}$.

คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงถ้าไม่มีสมาชิก ${\displaystyle E_{n}}$ ใด ๆ เลยที่มีเมเชอร์จำกัด (คือมีค่าเมเชอร์เป็นอนันต์ทุกตัว) ตัวอย่างเช่น ถ้าให้ n ∈ N,

${\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} }$

เราจะได้ว่าทุก ๆ ${\displaystyle E_{n}}$ มีเมเชอร์อนันต์แต่ว่าอินเตอร์เซ็กชันของเซตทั้งหมดมีเมเชอร์เป็นศูนย์

นิยามทางคณิตศาสตร์ของเมเชอร์

นิยามทางคณิตศาสตร์ของเมเชอร์แก้ไข

นิยามอย่างเป็นทางการแก้ไข

ในทางคณิตศาสตร์ เมเชอร์: μ คือ ฟังก์ชันที่ส่งค่าจากโดเมนประเภทซิกมาแอลจีบรา Σ ที่นิยามบนเซต X ไปยังเรนจ์ที่เป็นจำนวนจริงบวกขยาย [0, ∞] และ μ ต้องมีคุณสมบัติสองข้อต่อไปนี้

1. เซตว่างมีปริมาณที่วัดได้เท่ากับศูนย์ (หรือเรียกว่ามี เมเชอร์เท่ากับศูนย์) :

${\displaystyle \mu (\varnothing )=0;}$

2. มี สภาพการบวกนับได้ (countable additivity) หรืออาจเรียกว่ามีสภาพการบวกแบบซิกมา (σ-additivity) : ถ้ากำหนดให้ E₁, E₂, E₃, ... เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตที่ไม่มีส่วนร่วมเป็นคู่ ๆใน Σ แล้ว,

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i}).}$

เราจะใช้สัญกรณ์ (X,Σ,μ) เพื่อนิยามปริภูมิเมเชอร์ หรืออาจเรียกว่าปริภูมิเมเชอร์. นั่นคือปริภูมิเมเชอร์ประกอบไปด้วยเซต X, ซิกมาแอลจีบรา บนเซต X และฟังก์ชันที่นิยามบน ซิกมาแอลจีบรา นั้น. อนึ่ง แต่ละสมาชิกใน Σ จะถูกเรียกว่าเซตที่สามารถวัดได้ (measurable sets).

หมายเหตุ: ปริภูมิความน่าจะเป็นแก้ไข

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์, ฟังก์ชันความน่าจะเป็น ก็คือ ฟังก์ชันเมเชอร์ที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม คือ

3.

${\displaystyle \mu (X)=1.}$

นอกจากนั้นมักจะใช้สัญกรณ์ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},P)}$ แทนปริภูมิความน่าจะเป็น แทนที่จะใช้สัญกรณ์ (X,Σ,μ) เนื่องจาก X มักใช้แทนตัวแปรสุ่ม และใช้ μ แทนค่าเฉลี่ย .

แก้ไข