คุณสมบัติที่พิสูจน์ได้จากนิยาม

คุณสมบัติที่พิสูจน์ได้จากนิยามแก้ไข

Monotonicityแก้ไข

μ มีคุณสมบัติ monotonic: กำหนดให้ E₁ และ E₂ เป็นเซตที่สามารถวัดได้ (เป็นสมาชิกใน Σ) และ E₁ ⊆ E₂, แล้ว μ (E₁) ≤ μ (E₂).

คำอธิบายอย่างหยาบ: ถ้าวัตถุหนึ่งและวัตถุสองสามารถวัดค่าได้ และวัตถุแรกจริง ๆ แล้วเป็นเพียงส่วนประกอบของวัตถุสอง ค่าที่วัดได้ของวัตถุสองจะมากกว่าหรือเท่ากับวัตถุแรกเสมอ

เมเชอร์ของยูเนียนแบบนับได้ของเซตแก้ไข

กำหนดให้ ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...}$ เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตใน Σ จะได้ว่า

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}$.

นอกจากนั้นเรายังได้ว่า ถ้ากำหนดให้ ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...}$ เป็นเซตใน Σ และ ${\displaystyle E_{n}\subseteq E_{n+1},\forall n\in \mathbb {N} }$, แล้วจะได้ว่า ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}}$ อยู่ใน Σ ด้วยและ

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})}$.

เมเชอร์ของอินเตอร์เซกชันแบบนับได้ของเซตแก้ไข

กำหนดให้ ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...}$ เป็นเซตใน Σ และ ${\displaystyle E_{n+1}\subseteq E_{n},\forall n\in \mathbb {N} }$, แล้วจะได้ว่า ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n}}$ อยู่ใน Σ ด้วยและ ยิ่งไปกว่านั้น ถ้ามีสมาชิก ${\displaystyle E_{n}}$ อย่างน้อยหนึ่งตัวที่มีค่าเมเชอร์จำกัด เราจะได้ว่า

${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})}$.

คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงถ้าไม่มีสมาชิก ${\displaystyle E_{n}}$ ใด ๆ เลยที่มีเมเชอร์จำกัด (คือมีค่าเมเชอร์เป็นอนันต์ทุกตัว) ตัวอย่างเช่น ถ้าให้ n ∈ N,

${\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} }$

เราจะได้ว่าทุก ๆ ${\displaystyle E_{n}}$ มีเมเชอร์อนันต์แต่ว่าอินเตอร์เซ็กชันของเซตทั้งหมดมีเมเชอร์เป็นศูนย์